Funktionentheorie ++ OvGU ++ 2017

Vorlesung und Übungen zur Funktionentheorie - OvGU - 2017

Es gibt Prüfungstermine: 05., 15. und 28. März und 09. April. Wer es nicht schafft, sich in die Liste einzutragen, der meldet sich per Email.

Hier gibt’s die grundlegenden und aktuelle Informationen zur Vorlesung Funktionentheorie and der OvGU im Wintersemester 2017. Verantwortlich sind Jan Heiland and Steffen Werner.

Zu den Übungen.

Übersicht über die Vorlesung

1. Historische Einführung und grundlegende Konzepte [Woche 1]
   • Historischer Abriss und Anwendungen
   • Literatur
2. Grundlagen
   • Einführung in die komplexen Zahlen
   • Rechnen mit komplexen Zahlen
   • Polardarstellung [Woche 2]
   • (konvergente) Reihen komplexer Zahlen
   • Sinus, Cosinus, Exponentialfunktion [Woche 4]
3. Differentiation im Komplexen
   • Holomorphe Funktionen [Woche 5]
   • Cauchy-Riemann’sche Differentialgleichungen [Woche 6]
   • Strecken- und Winkeltreue holomorpher Funktionen
   • Lokale Invertierbarkeit [Woche 7]
4. Integration im Komplexen [Woche 8]
   • Kurven und Kurvenintegrale
   • Stammfunktionen [Woche 9]
   • Wegunabhängigkeit
   • Cauchy’s Integralsatz [Woche 10]

Übungen

Woche 1

Einführung

+++ Entdeckung/Entwicklung und Formalisierung der komplexen Zahlen +++ Mathematische Definition +++ Rechnen mit komplexen Zahlen +++ zurück zur Übersicht

Woche 2

+++ Polardarstellung +++ Potenzieren und Wurzel ziehen +++ (konvergente) Potenzreihen +++ zurück zur Übersicht

Woche 3

Übungsblatt 1 -- 26. Oktober

+++ Rechnen mit komplexen Zahlen +++ Wurzeln ziehen +++ Betragsungleichungen +++ zurück zur Übersicht

Woche 4

+++ Sinus, Cosinus und die Exponentialfunktion als Potenzreihen +++ Additionstheoreme +++ Approximation durch abgeschnittene Potenzreihen +++ Illustration – pythoncode +++ Stetigkeit und Darstellung komplexer Funktionen +++ zurück zur Übersicht

Woche 5

+++ Stetigkeit von Verküpfungen +++ Differenzierbarkeit und holomorphe Funktionen +++ Rechenregeln zur Ableitung +++ “holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar” +++ zurück zur Übersicht

Übungsblatt 2 -- 09. November

+++ Potenzreihen +++ Exp/Sin/Cos +++ Exponentialgesetze und Additionstheoreme+++ zurück zur Übersicht

Woche 6

+++ Ableitung als Linearisierung +++ Herleitung der Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen +++ Folgerungen aus den Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen +++ zurück zur Übersicht

Woche 7

+++ Strecken- und Winkeltreue holomorpher Funktionen +++ Invertierbarkeit +++ zurück zur Übersicht

Übungsblatt 3 -- 23. November

+++ Komplexe Differenzierbarkeit +++ Cauchy-Riemann’sche Differentialgleichungen +++ Ableitung von Potenzreihen +++ zurück zur Übersicht

Woche 8

+++ Kurven in der komplexen Ebene +++ Parametrisierung und (stückweise Glattheit) +++ Integration entlang von Kurven +++ Bogenlänge +++ zurück zur Übersicht

Woche 9

+++ Stammfunktionen +++ Integral über geschlossene Kurven +++ Wegunabhängigkeit +++ zurück zur Übersicht

Übungsblatt 4 -- 7. Dezember

+++ Integal von Funktionen längs von Kurven +++ Parametrisierungsinvarianz ++ zurück zur Übersicht+

Woche 10

+++ Konvexe- und Sterngebiete +++ Cauchys Integralsatz +++ Cauchys Integralformel +++ zurück zur Übersicht

Übungsblatt 5 -- 14. Dezember

+++ Kettenregel +++ Stammfunktionen +++ Wegunabhängigkeit gdw. verschwindendes Integral über geschlossene Kurven +++ zurück zur Übersicht

Woche 11

+++ Folgerungen aus Cauchys Integralformel +++ Leibnizsche Regel +++ verallgemeinerte Integralformel Cauchys +++ zurück zur Übersicht

+++ ganze Funktionen +++ Fundamentalsatz der Algebra +++ zurück zur Übersicht

Woche 12

+++ analytische Funktionen +++ gleichmäßige Approximation +++ Potenzreihen revisited +++ zurück zur Übersicht

Woche 13

+++ Charakterisierung von isolierten Singularitäten +++ Laurent-Reihen +++ zurück zur Übersicht

Übungsblatt 6 -- 18. Januar

+++ Integral mit Singularitäten +++ Potenzreihenentwicklung +++ Singularitäten +++ zurück zur Übersicht

Woche 14

+++ Laurent-Reihen +++ Residuen +++ zurück zur Übersicht

Übung 7 -- 25. Januar

Man trage eine der folgenden Definitionen frei vor und erläutere sie mit Hilfe einer Illustration oder einem Beispiel.

• 1.1 imaginaere Einheit, komplexe Zahl, Gleichheit, Menge CC, Komplexe Ebene
• Konvergente Folge und Reihe
• Konvergenzbereich
• Exponentialfunktion, Sinus/Kosinus
• 1.8 Stetigkeit von Funktionen
• 2.1 Komplex differenzierbar
• 2.1.1 Holomorphe Funktion
• (2.6) Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
• 3.1 Kurve ((stckw.) glatt)
• 3.2 Kurvenintegral
• 3.3 Stammfunktion
• (3.6 Gebiet)
• 3.17 ganze Funktion
• (4.1 glm. Konvergenz)
• (4.6 glm. Konvergenz bei Funktionenreihen)
• 5.1 punktierte Kreisscheibe
• 5.2 isolierte Singularitaet (hebbar, Pol, wesentlich)
• 5.7 Laurent-Reihe (Hauptteil, Regulaerteil)
• Konvergenzbereich der Laurent-Reihe
• 5.11 Residuum

Literatur